The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

minus(x, 0) → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0, s(y)) → 0
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
minus(s(x), s(y)) →⁺ minus(x, y)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [x / s(x), y / s(y)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
minus, quot, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
gt < plus

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
minus, quot, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
minus < quot
gt < plus

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(0), gen_0':s:zero:true:false2_0(0)) →_R^Ω(1)
gen_0':s:zero:true:false2_0(0)

Induction Step:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(+(n4_0, 1)), gen_0':s:zero:true:false2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) →_IH
gen_0':s:zero:true:false2_0(0)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Lemmas:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
quot, plus, gt

They will be analysed ascendingly in the following order:
gt < plus

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol quot.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Lemmas:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
gt, plus

They will be analysed ascendingly in the following order:
gt < plus

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol gt.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Lemmas:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
plus

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol plus.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Lemmas:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(18) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(19) BOUNDS(n^1, INF)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
minus(x, 0') → x
minus(s(x), s(y)) → minus(x, y)
quot(0', s(y)) → 0'
quot(s(x), s(y)) → s(quot(minus(x, y), s(y)))
plus(s(x), s(y)) → s(s(plus(if(gt(x, y), x, y), if(not(gt(x, y)), id(x), id(y)))))
plus(s(x), x) → plus(if(gt(x, x), id(x), id(x)), s(x))
plus(zero, y) → y
plus(id(x), s(y)) → s(plus(x, if(gt(s(y), y), y, s(y))))
id(x) → x
if(true, x, y) → x
if(false, x, y) → y
not(x) → if(x, false, true)
gt(s(x), zero) → true
gt(zero, y) → false
gt(s(x), s(y)) → gt(x, y)

Types:
minus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
0' :: 0':s:zero:true:false
s :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
quot :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
plus :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
if :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
gt :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
not :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
id :: 0':s:zero:true:false → 0':s:zero:true:false
zero :: 0':s:zero:true:false
true :: 0':s:zero:true:false
false :: 0':s:zero:true:false
hole_0':s:zero:true:false1_0 :: 0':s:zero:true:false
gen_0':s:zero:true:false2_0 :: Nat → 0':s:zero:true:false

Lemmas:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen_0':s:zero:true:false2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':s:zero:true:false2_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_0':s:zero:true:false2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(21) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
minus(gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0), gen_0':s:zero:true:false2_0(n4_0)) → gen_0':s:zero:true:false2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(22) BOUNDS(n^1, INF)